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趣谈数学与物理的关系

哲学园 <更多内容 2018-03-13 09:18:14

原标题:趣谈数学与物理的关系

转自:数学中国

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哲学园鸣谢

各门科学中,物理与数学关系最亲,可以说,数学是物理学最铁的铁哥们。其它科学,如:生物学、化学、医学等等,如果没有数学帮忙,还都能大差不差的过得去,唯独物理学,如果没有数学的话,那简直一天日子都过不下去。当初,要不是牛顿发明了微积分,他的三大力学定律和万有引力定律,就很难唱得出精彩的戏来。

尽管,数学家不是一心想去物理学家去攀亲戚,他们多半时间象是山里的隐士,让自己的头脑在逻辑天空中尽情翱翔,对凡尘的事置之度外。

然而,物理学家的日子可没有那样潇洒,他们必须在第一线打拼。有时实在没辙,就去求教数学家,犹如当年三顾茅庐的刘玄德。你还别说,数学家家手头还往往有现成的锦囊妙计。

当年,爱因斯坦一心想根据惯性质量与引力质量相等的原理,搞一个引力理论,然而,一连苦思冥想了好多年,都毫无进展。让他苦恼的是,在引力作用下,空间会发生扭曲,而欧几里得几何学却对此毫无办法。后来,幸好他的好友格罗斯曼告诉他,法国数学家黎曼研究出的一套几何学,应该能帮他解决烦恼。果然,爱因斯坦有了黎曼几何这一有力武器后,就顺顺当当的建立了广义相对论。

另一件有趣的事是发生在量子力学建立的初期。当时,德国青年科学家海森堡为了解决微观问题,独创了一种代数。在这门代数中,乘法交换律不再成立,也就是说, A乘B不等于B乘A。初看起来似乎有点匪夷所思。然而,数学家一眼就看出,不过是早已有之的矩阵代数而已。于是,海森堡把自己的力学称为矩阵力学,与此同时,奥地利科学家薛定谔开发了一套波动力学。后来,薛定谔证明了,矩阵力学和波动力学数学上是同一回事。今天,就都被称为量子力学了。

而今天,物理学家们高度重视对称性问题,而研究对称性的群论,早就在数学家手中盘得滚瓜烂熟了。

随着物理学的进展,概念越来越抽象,一天天向数学靠拢。

当年,拉格朗日出版了一本力学专著,从第一页到最后一页,没有一张插图,从头到底都是数学公式。书中唱大戏的是一个被称为“作用量”的量。任何第一次接触到作用量的人都会满脸疑惑,这作用量究竟是什么玩意儿:

能量吗?——否也;

质量?——否也;

力量?——否也。

那究竟是什么?——动能减势能也。

依然疑问重重,动能减势能又算是什么玩意儿?

答曰,动能减势能即为作用量。

总之,你休想用任何具体生动的概念去描画它,作用量者,作用量也。尽管如此,它却是一条再硬不过的死规定:任何物体在空间移动时,必定循着作用量改变最小的路径走。这又是为什么?没有道理可讲,理解得执行,不理解也得执行,在执行中理解,在执行中增加感情。捧起数学书去啃吧,到时候,理解和感情自然会产生。

热力学同样又是一门高度抽象的物理学分支。热力学里的那些熵、焓、自由能等等玩意儿,要多抽象有多抽象。难怪一位热力学的教授说,“女孩子学这门课,常常会哭鼻子。”热力学以三大定律为基础,用状态函数全微分、麦克斯韦尔偏微分关系,和可逆过程的路线积分等一连串数学,让未来的工程师们头晕目眩,却建立起一座宏伟的大厦,严谨程度不亚于欧几里得几何学。难怪,当初波尔兹曼企图把分子统计理论引进热力学时,遭到当时热力学权威的顽固抵制。在他们眼里,波尔兹曼是在往美丽宏伟的热力学宫殿里乱撒灰尘,这还了得!

而电动力学里的电磁波,电场和磁场纵横交错波动,而且,在没有载体的真空里照样能兴风作浪。王安石曾解释汉字的“波”为“水之皮”。显然,他眼里反过来的意思就是,水乃波之肉也。按此方式思考,电磁波成了不附肉之皮了。个中之玄机,除了用数学公式,很难把握得了。

量子力学里,粒子既有微粒性又有波动性,更是日常生活难以想象的,也只有数学函数能说得清楚。

所以,今天的许多基础物理概念,常必须依靠数学来加以诠释。或许,世界正如毕达哥拉斯所想象的那样,是由数构成的。

但是,也别以为,物理学家的一切苦恼,数学家都能帮忙解决,事实远非如此。

与物理学关系最密切的数学分支是微分方程,几乎所有的物理学分支都与微分方程结下不解之缘。

同一个微分方程可以解答许多物理问题,也可以有无数多个解。有人会有疑问了,那么多的解,该选哪个好?其实,这倒不用担心的,一旦把这个方程的初始条件和边界条件拿准了,这个方程的解也就定了下来。然而,当今的数学家们往往只有在在十分理想的条件下,才能提供微分方程的严格解。对于边界简单的状况,如:圆形、矩形等等,有时还能对付得过去。而实际情况往往要复杂得多,比如,建筑师会想出各种各样的建筑外形来,越是怪异,他就越能出名。例如,澳大利亚的悉尼歌剧院的屋顶,真是要多就多美,可是,要想求得屋顶各处的受力情况,即使再等上一百年也未必能得到严格解。正如俗话说的,“文官动动嘴,武官跑断腿。”出名的是建筑师,累死的是结构师。这种情况下,要是没有大型计算机,结构师即使活活累死还是没辙。实际山,计算机用的是一种求近似解的方法:将无穷小的微分用有限小的差分,如:0.1,0.001或0.0001 等来替代,然后一步步算过去。至于有限小差分到底选多小,就看你的计算耐心和每次计算的误差了。今天,有了大型计算机,虽然都是近似值,但对于许多实际问题,精度完全是能做到的。建筑师尽管出难题,计算机和软件都是现成的,方案一输进去,一会儿答案就会出来。许多其它科学和工程问题也同样依靠这样的方法来解决。

但是,也别以为有了计算机就万事大吉了。有许多事,你即使把全世界巨型计算机都搬来都不顶用。比如,在研究高能物理的量子场论中,任何一个粒子都把自己的场一直延伸到无穷远处。计算机神通再大,也没法从无穷远处一路算过来,再算过去。

不过,数学家还有别的招术来求近似解,最常用的一种,是所谓的逐次迭代法。具体说来是这样的,对于如下形式的这个方程:

X=f(X) …………………….. (1)

先假设一个X0放进方程(1)右边,顶替X,于是就有:

X1=f(X0)

如果,X1恰好等于X0,那就万事大吉,说明我们已经求得了方程的解,那就是X=X0=X1,然而,天底下很少有这样好的运气。那怎么办?那就一步步如法炮制的替代下去:

X2=f(X1)

X3=f(X2)

……

Xn=f(Xn-1)

如果一次次计算的差距都在不断缩小,当Xn-Xn-1小到能够满足我们的精度要求时,我们就可以说,X基本上等于 Xn或Xn-1,任务算是功德圆满了。

这一套手法是研究量子场论的科学家最称手的杀手锏,时时刻刻都拿在手里使用的,他们对每次迭代都作了相应的物理解释(注1)。物理学家费曼还画出力的传递粒子的路线图,来代表每次迭代过程,这些图被称为费曼图。

话说到这里,一定有人来责问了,“您怎么能保证一次次代下去,差距越来越小,而不会越来越大?”

一点不假,差距变得越来越大的例子多得数不过来。这里,不妨举一个最普通的代数问题为例:

X^2-10X = 0

只要学过初中一年级代数,都知道这个代数式通过因式分解,就成为:

X(X-10)= 0

于是,一眼就可以看出,这个方程有两个根,一个是X=0,另一个是X=10。现在,我们把这个方程式转换成(1)的形式:

X=X^2/10 …………… (2)

现在,来看看逐次迭代能得到什么结果。

我们随便取一个数作为X0,例如,令X0=1,代入方程(2)的右边,于是,可以一连串得到:

X1= 0.1

X2=0.001

X3=0.000001

显然,以非常快的速度,一路向根X=0 奔去,我们应该对此感到非常满意。可是,问题又来了,还有一个根X=10 呀,那又该咋办?是不是我们一开头取的X0=1离它太远了点?好,我们重新取X0=9,看看情况又会如何。迭代的几次结果是:

X1= 8.1

X2=6.56

X3=4.3

…….

同样是一路向X=0那个根奔,却对X=10毫不理会。

或许,我们把X0取小了,取大一点的,比如X0=11,又会怎么样呢?情况如下:

X1= 12.1

X2=14.6

X3=21.3

…….

好家伙,居然把根X=10抛在脑后,一路往无穷大狂飙了,X=10在这里似乎成了讨厌鬼,大家都不愿跟它沾边。看来,逐次迭代法并不是招招都灵。其实,什么时候逐次迭代法可以一展身手,什么时候行不通,数学家们是早就有了判断的办法了(注2)。

可是,高能物理学家们对这个问题似乎不太放在心上,他们的场方程在第一次迭代后效果很好,可是,才进行第二次迭代,就出现了无穷大,于是,他们想方设法搞了个无穷大减无穷大,居然也能得到令人满意的结果。他们把这个过程称为重整化。数学家们看了只能直摇头。可是,既然效果那么好,还管那么多干吗呢。

让数学家最头疼的是所谓的“非线性”问题。何谓非线性呢?简而言之,如果变量X在方程里只以一次式出现,那就是线性的,反之,如出现X2或1/X等项目,那就是非线性的了。

一旦遇到非线性问题,数学家在绝大多数情况下没法可想,物理学家也只能绞尽脑汁提出一些简化模型来对付。

其实,量子场论力的方程还只能算是半线性的,广义相对论的引力方程是百分百的非线性。当初,爱因斯坦把它搞出来后,不由得愁上心头,这样一个非线性方程,何年哪月能找到它的一个严格解啊?可是,前苏联的数学家弗里德曼没让爱因斯坦愁太久,就找到了一个解,以后,宇宙大爆炸、黑洞…等等一系列热闹问题登场了。

引力方程毕竟是研究宇宙的,与我们老百姓日常生活几乎毫无关系。但是,有一个与我们天天密切相关的问题,却也是百分百的非线性,这就是被称为,奈维—斯托克斯方程的流体力学方程。

非线性方程不仅难以求得严格解,另一个难缠的是,它往往有不止一个解,还会象泥鳅似的在不同解之间游来荡去。我们日常看到的不断变化的流水波纹,或无风时的袅袅青烟,都反映了这种情况。

绝大多数流体力学问题,指望不上数学家,只能硬拼实验。于是,一座座大规模风洞建立起来。可是,风洞再大也没法把整架空客或波音这样巨型客机塞进去。流体力学家们想到了一些经验放大的办法。他们引入了一些被称为“无因次数”的量,这些量都没有任何计量单位。第一个这样的无因次量叫做雷诺数,计算式子很简单:

雷诺数=特征长度*流体速度*流体密度/黏度

(这里的特征长度根据具体情况而定,可以是管子的直径,也可以是机翼的宽度)。

参与雷诺数里各个量的单位会全部抵消,于是,雷诺数就没了单位。不管你用什么单位制计算,得出数值都是一样的,比如,你用国际标准的厘米.克.秒制,算出的雷诺数是1000,你用英制的英尺.磅.秒来计算的话,得到的雷诺数同样也是1000(注3)。

同样的雷诺数,即使其它状况大不相同,往往会出现同样的现象。例如,无论管子直径多粗或多细,也不管是液体还是气体,只要雷诺数小于2300时,管子里的流体都会规规矩矩的作平行流动,而当雷诺数大于10000时,管子里的流体就呈紊乱流动状态,在2300至10000之间,则是过渡状态。这样一来,就可以作为依据,把实验数据进行放大了。谢天谢地,否则,要建造大型水电站或巨型油轮时,我们需要做多大规模的实验哪!

可是,如果你仔细注意一下雷诺数的公式的话,会发现一个很奇怪的现象,流体力学模型的实验不是按比例缩小的。譬如,为了研究一根直径巨大管道里流体流动的概况,建一个1/10大小的小管子模型,然而,实验时不是让小管子里的流速等于大管子里流速的1/10,而是,必须等于大管子里流速的10倍!

很让人奇怪吧?似乎一点道理都没有。可是,雷诺数等无因次数适用范围非常广,不但包括各种各样的液体,同样还包括各种各样的气体。在航空、航海、水文、石油化工,热工等各个领域得到广泛应用。这些行业里的工程师们无不知道大名鼎鼎的雷诺数,而没几个人能回忆得起那个奈维—斯托克斯方程来,尽管,大学时代老师或许曾经略略提起过。

莫斯科不相信眼泪,流体力学不需要数学。

注解:

(注1) 量子场论方程左端常是些线性算子,而右端是一些非线性组合。进行逐次迭代时,先找到与左端线性算子及其边值条件相应的格林函数,然后,将原来的微分方程转换成等价的积分方程。这个积分方程具有方程(1)的形式,于是,就可以进行逐次迭代了。

(注2) 数学中有一个称为列普希兹条件的判断式。满足了这个条件,方程就存在唯一的解,可以,用逐次迭代法不断逼近。

(注3) 黏度指不同流动速度的流体之间的拖动力量,其单位是克/(厘米*秒)。从平时生活中常遇到的一些现象,可以得到比较直观的概念。例如,水的黏度比较小,而液体胶水的黏度就很大。

雷诺数=长度*速度*密度/黏度,相应的单位是:

(Cm * cm/sec * g/cm3)/(g/ cm*sec)

结果,单位全部抵销。

本文转载自:https://wenku.baidu.com/view/a9bf8964783e0912a2162a93.html

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